龐學林正式開始了ABC猜想的研究工作。
ABC猜想很難，單單這個猜想的概念表述，就足以讓普通人一頭霧水。
一般情況下，數論領域的猜想表述起來都比較精確直觀。
比如已經被安德魯·懷爾斯證明了的費馬大定理，可以直接表示為：當整數n大于2時，關于x， y， z的方程 x^n + y^n = z^n 沒有正整數解。
又比如大名鼎鼎的哥德巴赫猜想，一句話就能看懂：任一大于2的偶數都可寫成兩個質數之和。
但ABC猜想卻是個例外。
它理解起來非常抽象。
簡單地說，就是有3個數：a、b和c =a+b，如果這3個數互質，沒有大于1的公共因子，那么將這3個數不重復的質因子相乘得到的d，看似通常會比c大。
舉個例子：a=2，b=7，c=a+b=9=3*3。
這3個數是互質的，那么不重復的因子相乘就有d=2*7*3=42大于c=9。
大家還可以實驗幾組數，比如：3+7=10，4+11=15，也都滿足這個看起來正確的規律。
但是，這只是看起來正確的規律，實際上存在反例！
由荷蘭萊頓大學數學研究所運營的ABC@home網站就在用基于BOINC的分布式計算平臺尋找ABC猜想的反例，其中一個反例是3+125=128：其中125=5^3 ，128=2^7，那么不重復的質因子相乘就是3*5*2=30，128比30要大。
事實上，計算機能找到無窮多的這樣反例。
于是我們可以這樣表述ABC猜想，d“通常”不比c“小太多”。
怎么叫通常不比c小太多呢？
如果我們把d稍微放大一點點，放大成d的（1+ε次方），那么雖然還是不能保證大過c，但卻足以讓反例從無限個變成有限個。
這就是ABC猜想的表述了。
ABC猜想不但涉及加法（兩個數之和），又包含乘法（質因子相乘），接著還模糊地帶有點乘方（1+ε次方），最坑爹的是還有反例存在。
因此，這個猜想的難度可想而知。
事實上，除了尚未解決的涉及多個數學分支的猜想界皇冠黎曼猜想以外，其他數論中的猜想，諸如哥德巴赫猜想、孿生素數猜想，以及已經解決的費馬大定理，基本上都沒有ABC猜想重要。
這是為何呢？
首先，ABC猜想對于數論研究者來說，是反直覺的。
歷史上反直覺的卻又被驗證為正確的理論，數不勝數。
一旦反直覺的理論被證實是正確的，基本上都改變了科學發展的進程。
舉一個簡單的例子：牛頓力學的慣性定律，物體若不受外力就會保持目前的運動狀態，這在17世紀無疑是一個重量級的思想炸彈。
物體不受力狀態下當然會從運動變為停止，這是當時的普通人基于每天的經驗得出的正常思想。
而實際上，這種想法，在任何一個于20世紀學習過初中物理、知道有種力叫摩擦力的人來看，都會顯得過于幼稚。
但對于當時的人們來說，慣性定理的確是相當違反人類常識的！
ABC猜想之于現在的數論研究者，就好比牛頓慣性定律之于十七世紀的普通人，更是違反數學上的常識。
這一常識就是：“a和b的質因子與它們之和的質因子，應該沒有任何聯系。”
原因之一就是，允許加法和乘法在代數上交互，會產生無限可能和不可解問題，比如關于丟番圖方程統一方法論的希爾伯特第十問題，早就被證明是不可能的。
如果ABC猜想被證明是正確的，那么加法、乘法和質數之間，一定存在人類已知數學理論從未觸及過的神秘關聯。
再者，ABC猜想和其他很多數論中的未解問題有著重大聯系。
比如剛才提到的丟番圖方程問題、費馬最后定理的推廣猜想、Mordell猜想、Erdős–Woods猜想等等。
而且，ABC猜想還能間接推導出很多已被證明的重要結果，比如費馬最后定理。
從這個角度來講，ABC猜想是質數結構的未知宇宙的強力探測器，僅次于黎曼猜想。
一旦ABC猜想被證明，對于數論的影響之巨大，無異于相對論和量子物理之于現代物理學。
正因為如此，2012年望月新一聲稱自己證明了ABC猜想時，才會在數學界引起這么大的轟動。
望月新一1969年3月29日出生于日本東京， 16歲進入美國普林斯頓大學就讀本科，三年后進入研究生院，師從著名德國數學家，1986年菲爾茨獎得主法爾廷斯，23歲（即1992年）獲得數學博士學位。
即使在向來嚴格和毒舌的法爾廷斯眼中，望月新一也堪稱他的得意門生之一。
1992年，因為性格比較孤僻古怪，不適應美國文化，望月新一返回日本，擔任京都大學數理解析研究所研究員。
期間，望月新一在“遠阿貝爾幾何”領域做出卓越貢獻，并因此受邀在1998年的柏林國際數學家大會上發表45分鐘的演講。
1998年之后，望月新一開始將所有精力都投入到ABC猜想的證明中去，幾乎在數學界銷聲匿跡。
一直到2012年，望月新一發表512頁的ABC猜想證明論文，才再次引發數學界大規模關注。
從某種程度上說，望月新一與佩雷爾曼有點類似，只是佩雷爾曼成功地證明了龐加萊猜想，而望月新一的ABC猜想證明，卻并沒有得到數學界的認可。
望月新一研究ABC猜想的理論工具，便是遠阿貝爾幾何。
因此，在研究望月新一ABC猜想論文之前，龐學林還讓田牧找來了望月新一關于遠阿貝爾幾何的相關著作。
遠阿貝爾幾何由代數幾何教皇格羅滕迪克于二十世紀八十年代創建，是數學界一門非常年輕的學科。
這門學科的研究對象是不同幾何物體上的代數簇的基本群的結構相似性。
近代分析學之父巴納赫說：“數學家能找到定理之間的相似之處，優秀的數學家能看到證明之間的相似之處，卓越的數學家能察覺到數學分支之間的相似之處。最后，究級的數學家能俯瞰這些相似之處之間的相似之處。”
格羅騰迪克，便稱得上是真正意義上的究級數學家，遠阿貝爾幾何便是一門研究“相似之相似”的數學分支。
從十六世紀意大利數學家費羅和塔爾塔利亞發現一元三次方程的求根公式（即卡爾丹諾方程），到十九世紀伽羅瓦發現特殊高次方程解的群結構。
代數幾何中的代數簇，則是一大類方程的公共解。
代數簇的基本群，則是對于已經綜合了一大類理論的代數簇理論的再一次綜合，關心什么樣的結構獨立于幾何物體的代數簇的表象之外。
于是乎，對于數學家來說，檢查望月新一的證明是否存在錯漏的另外一個難題就是：要透徹理解望月那512頁的ABC猜想的證明，需要先弄懂望月新一關于遠阿貝爾幾何的750頁的著作！
全世界總共只有約50名數學家在這方面有足夠的背景知識去通讀望月新一這本遠阿貝爾幾何著作，更別提望月在證明猜想中建立起來的“一般化泰希米勒理論了。
到目前為止，這一理論只有望月新一自己能搞明白。
龐學林沒指望自己能在短短幾年時間里將ABC猜想研究透徹，他只想利用自己在火星的這幾年時間里，搞明白望月新一研究ABC猜想的相關思路，尋找論文中的錯漏之處。
當然，如果能從中得到什么靈感，那就再好不過了。
