第二十四章首日競賽
2009年,適逢國際數學奧林匹克IMO舉辦50屆,國際數學奧林匹克委員會舉行了50周年慶典活動。
在這場50周年慶典,出現了很多聞名世界的數學家。
慶典結束后,則是正式比賽,來自全球105個國家和地區的近560名學生將參加本屆比賽。
整個比賽持續一周時間。
比賽選手將在這為期一周的時間內攻克數學難題,爭奪數學奧林匹克的金銀銅牌。每個國家的參賽選手,都抱著為國爭光的決心前來征戰世界。
3月15日,競賽拉開帷幕
IMO一共六道題,今天考三題,明天考三題,每題7分,滿分是42分。每個競賽日的競賽時間為4.5個小時,可攜帶任何文具及作圖工具,一切電子設備不被允許帶入賽場。
因為競賽時間較長,各選手可自帶食物飲料進場,可并攜帶不多于三本的參考資料。
但是秦元清除了帶了一些吃喝的,其他參考資料一本沒帶,因為按照以前的情況,參考資料基本上沒有什么用的,出題人早已考慮到這些,要是參考資料能夠找到解決辦法,說明出題人的出題水平太爛了。
這就如同國內考試,開卷考往往比閉卷考難得多。
因為本國選手拿到題目,都已經是換成本國文字,所以選手拿到試卷,都不會存在任何語言文字的障礙。
秦元清拿到試卷,只有三題,第一題是最簡單的,要是連第一題都不會做,那么后面兩題都不用考慮了。
秦元清很冷靜,第一道題最簡單,是送分題,可是同樣的,一不小心就變成了送命題。
“1、n是一個正整數,a1,a2.....ak(k≥2)是{1,2,......,n}中的不同整數,并且n ai(ai+1-1)對于所有i=1,2,.......,k-1都成立,證明:ak(a1-1)不能被n整除。”
秦元清看了三遍題目,心中暗罵一下提供這題的人以后生孩子沒屁眼,竟然暗設陷阱,一個不小心就會答錯掉。
秦元清開始作答,首先利用數學歸納法證明:對任意的整數i(2≤i≤k),都有被整除,得出當i=2時,由已知得能被乘除的結論成立。一步步以此展開,最后得出,ak(a1-1)不能被n整除的結論。
然后秦元清又看向第二道題。
“△ABC外接圓的圓心為O,P、Q分別在線段CA、AB上,K、L、M分別是BP、CQ、PQ的中點,圓Г過K、L、M并且與PQ相切。證明:OP=OQ。”
秦元清這一題審題完成,倒是覺得這一題比上一題容易一些,沒有設陷阱。先是做了一個圓,然后化作△ABC,然后又作出CA、AB線段以及P、Q二點,然后標出BP、CQ、PQ的中點K、L、M。最后作出圓Г。
隨后以直線PQ與圓Г相切,相切點M,然后通過弦切角定理得出∠QMK=∠MLK。由于點K、M分別是BP、PQ的中點,所以KM∥BQ,從而得出∠QMK=∠AQP。
因此得到∠MLK=∠AQP。
同理,∠MKL=∠APQ。
根據角的相等,得到△MKL∽△APO,從而得到MK/ML=AP/AQ
因為K、L、M分別是線段BP、CQ、PQ的中點,所以得到KM=BQ/2,LM=CP/2,將此帶入上式得BQ/CP=AP/AQ,將式子轉為AP·CP=AQ·BQ。通過圓冪定理知OP2=OA2-AP·CP=OA2-AQ·BQ=OQ2
所以,得出結論OP=OQ。
秦元清連檢查都沒有檢查,將抽向的數學問題轉為圖像,這個是他擅長的地方,他有十全的把握證明。
緊接著秦元清看向第三題,“3、S1,S2,S3,......是嚴格遞增的正整數數列,并且它的子數列SS1、SS2、SS3,.....和SS1+1,SS2+1,SS3+1......都是等差數列。證明:S1,S2,S3......是一個等差數列。”
看著這一題,秦元清微皺起眉頭,這一題明顯比前面兩道題難得多,秦元清將已知條件稍微捋了一下,這一道題融合了等差數列、以及轉換法。
秦元清一步一步地展開,通過數列以及子數列都是嚴格的遞增的正整數數列,設Ssk=a+(k-1)d1,SSk+1=b+(k-1)d2(k=1,2......,a、b、d1、d2∈N+)。
將問題轉為函數、數列后,以Sk<Sk+1<Sk+1及{Sn}的單調性,知對任意的正整數k,有SSk<Ssk+1≤SSk+1。即a+(k-1)d1<b+(k-1)d2≤a+kd1
因此a-b≤(k-1)(d2-d1)≤a+d1-b。由k的任意性知d2-d1=0,得到d2=d1。。。。。。
當秦元清寫下證明結論,摸了一下額頭,發現已經冒汗了,輕輕地吐出一口濁氣。
隨后秦元清站了起來,做了個交卷的手勢。監考官走到他面前,將他的考卷裝入文件袋密封。
秦元清輕松自若的離開考場,毫無壓力。既然作答了,那么就不會有錯。
當秦元清離開考場,才知道他是第一個交卷的,華夏奧數隊的隊員都還沒交卷,其他國家的奧數隊也都還沒有一個交卷。
“首日競考感覺如何?”副領隊看到秦元清,連忙問道。
“一般般啦,很輕松!”秦元清瀟灑地擺擺手:“還沒有集訓考試難,放心,42分跑不了!”
副領隊聞言頓時松了口氣,在這一支華夏奧數隊,秦元清是王牌存在,是壓艙石,既然秦元清這么說,那說明今年的難度不大。
“就是第一道題,也不知道哪一國出題的,設了個陷阱,一不小心就會做錯。太缺德了,和我們這些高中生耍心眼!”秦元清吐槽地說道。
然后秦元清就看到不遠處,一個人高馬大的白人看了過來,眼神不善,副領隊連忙用手捂住秦元清的嘴,小聲道:“聽說第一道題是澳大利亞出題的,那人是澳大利亞奧數隊的副領隊!”
秦元清無語。
自己這是背后說人壞話,還被人家聽到,這太傷人品了。
不過一聽是澳洲,頓時覺得這澳洲簡直是缺德,他重生前澳洲就不知道哪根筋搭錯了,和華夏抬杠著,導致網上罵聲一片。現在,其他兩道題都很正常,特別是最后一題出得很有水平,就第一道題卻玩心眼,這澳洲真是腦袋不正常。
秦元清就搞不明白,澳洲這樣腦殘,怎么有那么多華夏人移民澳洲,結果腦袋瓜也被影響,比如2020年年初那聲名大噪的梁某研,態度蠻橫無理,甚至還大喊救命,聲稱有人騷擾她,要不是有視頻,還真的是有理說不清。被驅逐出境,竟然還要華夏人跟她道歉,報銷機票,簡直腦袋瓜生銹了。
大概半個小時,有印度人走出考場,秦元清好奇道:“副領隊,阿三的數學很強?”
副領隊說道:“那是自然,印度人的數學水平在世界范圍內也能排上號,僅次于菲獎的拉馬努金獎,就是以印度數學家拉馬努金的名字命名。”
“拉馬努金這人是厲害,拉馬努金猜想系列屬于比較厲害的。”秦元清微微頷首。
至于隨后出來的是俄國選手,當初蘇聯時代,數學就非常的強,誕生了很多偉大的數學家,謝爾蓋、德里費爾德等都獲得菲獎,繼承了大部分蘇聯遺產的俄國,在數學自然也是非常強的,比如格里戈里·佩雷爾曼更是破解了龐加萊猜想的猛人,因為他證明龐加萊猜想,不知道相關聯的幾千個數學猜想因此成了定理,可謂以一己之力推進幾何學、拓撲學的歷史進程。
哪怕佩雷爾曼是怪人,不喜歡接受采訪,不喜歡拋頭露面,可是毫無疑問,佩雷爾曼絕對是當今世界最偉大的數學家之一。
等到華夏奧數隊的人員到齊,大家才一起回了酒店,沒有人會去查答案,那只會干擾次日的比賽。
秦元清回到主場,用電腦聯網后查找世界數學強國,美利堅、歐洲、俄國、東瀛都屬于世界數學強國,都誕生了不止一位菲獎獲得者,而美利堅又是數學第一強國,不管是從大學數學專業排名,還是數學研究所、數學專業雜志等,都毫無爭議是世界第一數學強國。
而華夏,雖然這十年經常得到IMO金牌,但是卻算不上數學強國,頂多算一個數學大國。
秦元清又想到前幾天在外面所見所聞,歐美人普通人計算能力糟糕非常,但是其教育又以培養孩子的興趣,數學是一門講究天賦、邏輯的學科,要求很高,沒有數學天賦、邏輯思維不足,根本就不會進入數學大門,而那些有興趣的人,因為是自己敢興趣,往往自學能力很強,自己感興趣的往往是事倍功半。
同樣的,數學思維的養成也非常重要。華夏是個人口大國,又是普及九年義務教育,追求的是公平、公正,這就導致需要數量龐大的教師隊伍,對于華夏而言,首先是先滿足量,最后才是質。這就導致教育過程中,是以填鴨式的教學方式,這樣培養下來的學生考試成績差不多哪里去,但是思維卻是個問題。
到了大學階段,華夏大學生的數學能力與國外就體現出差距了,國外的數學天才能夠從小得到很好的數學思維培養,厚積薄發下,大學階段就展現了高超的能力。
國外是精英教育,國內是平民教育,教育體制的差距,就導致了結果不一樣。
而國內的教育制度,又導致了國內培養了數以百萬計的工程師,優質又廉價的工程師勞動力,以至于到了2018年左右,‘工程師紅利’成為了一個新的熱詞。