數學神童
歷史上間或出現神童。神童常常出現在數學、音樂、棋藝等方面。卡爾·弗
雷德里希·高斯，一位數學神童，是各式各樣的天才里最出色的一個。就像獅子
號稱萬獸之王，高斯在數學家之林中稱王，他有一個美號——數學王子。高斯不
僅被公認為是十九世紀最偉大的數學家，并且與阿基米德、牛頓并稱為歷史上三
個最偉大的數學家。現在阿基米德和牛頓的名字早已進入了中學的教科書，他們
的工作或多或少成為大眾的常識，而高斯和他的數學仍遙不可及，甚至于在大學
的基礎課程中也不出現。但高斯的肖像畫卻赫然印在10馬克——流通最廣泛的德
國紙幣上，相應地出現在美元和英鎊上的分別是喬治·華盛頓和******。
1777年4月30日，高斯出生在德國下薩克森洲的不倫瑞克（Braunscheig
），他的祖先里沒有一個人可以說明為什么會產生高斯這樣的天才。高斯的父
親是個普通的勞動者，做過石匠、纖夫、花農，母親是他父親的第二個妻子，當
過女仆，沒有受過什么教育，但她聰明善良，有幽默感，并且個性很強，她以97
歲高壽仙逝，高斯是她的獨養兒子。據說高斯3歲時就發現父親帳簿上的一處錯
誤。高斯9歲那年在公立小學讀書，一次他的老師為了讓學生們有事干，叫他們
把從1到100這些數加起來，高斯幾乎立刻就把寫好結果的石板面朝下放在自己的
桌子上，當所有的石板最終被翻過時，這位老師驚訝地發現只有高斯得出了正確
的答案：5050，但是沒有演算過程。高斯已經在腦子里對這個算術級數求了和，
他注意到了1＋100＝101，2＋99＝101，3＋98＝101……這么一來，就等于50個
101相加，從而答案是5050。高斯在晚年常幽默地宣稱，在他會說話之前就會計
算，還說他問了大人字母如何發音，就自己學著讀起書來。
高斯的早熟引起了不倫瑞克公爵的注意，這位公爵是個熱心腸的贊助人。高
斯14歲進不倫瑞克學院，18歲入哥廷根大學。當時的哥廷根仍默默無聞，由于高
斯的到來，才使得這所日后享譽世界的大學變得重要起來。起初，高斯在做個語
言學家抑或數學家之間猶豫不決，他決心獻身數學是1796年3月30日的事了。當
他差一個月滿19歲時，他對正多邊形的歐幾里德作圖理論（只用圓規和沒有刻度
的直尺）做出了驚人的貢獻，尤其是，發現了作正十七邊形的方法，這是一個有
著二千多年歷史的數學懸案。高斯初出茅廬，就已經爐火純青了，而且以后的五
十年間他一直維持這樣的水準。高斯所處的時代，正是德國浪漫主義盛行的時代。
高斯受時尚的影響，在其私函和講述中，充滿了美麗的詞藻。高斯說過：“數學
是科學的皇后，而數論是數學的女王。”那個時代的人也都稱高斯為“數學王
子”。事實上，縱觀高斯整個一生的工作，似乎也帶有浪漫主義的色彩。
對自然數的迷戀
數論是最古老的數學分支之一，主要研究自然數的性質和相互關系。從畢達
哥拉斯時代人們就沉湎于發現數的神秘關系之中，優美、簡潔、智慧是這門科學
的特點。就像其他數學神童一樣，高斯首先迷戀上的也是自然數。高斯在1808年
談到：“任何一個花過一點功夫研習數論的人，必然會感受到一種特別的激情與
狂熱。”現代數學最后一個“百事通”——大衛·希爾伯特的傳記作者在談到大
師放下代數不變量理論轉向數論研究時指出：“數學中沒有一個領域能夠象數論
那樣，以它的美——一種不可抗拒的力量，吸引著數學家中的精華。”畫家瓦西
里·康定斯基也認為：“數是各類藝術最終的抽象表現。”我注意到一些不曾研
究過數論的偉大數學家，如帕斯卡爾、笛卡爾、牛頓和萊布尼茲，他們都把后半
生的精力奉獻給了哲學或宗教，唯獨費爾馬、歐拉和高斯這三位對數論有著杰出
貢獻的數學家，卻終其一生都不需要任何哲學和宗教，因為他們心中已經有了最
純粹、最本質的藝術——數論。
這里我想引用印度數學天才拉曼紐揚的故事來說明數論學者與自然數的“情
誼”，這位泰戈爾的同胞來自印度最南端的泰米爾納德邦，是個貧窮的辦事員，
從沒有受過高等教育，但他具有快速并且深刻地看出復雜的數的關系的驚人才華。
著名的英國數學家G·H·哈代在1913年“發現”了他，并于次年把他邀請到英國，
入劍橋大學。哈代有一次去探望病中的拉曼紐揚時對他講，自己剛才乘坐的出租
汽車車號1729似乎沒有什么意義，但愿它不是一個不祥的預兆。拉曼紐揚卻回答：
“不，這是一個很有意思的數，1729是可以用兩種方式表示成兩個自然數立方和
的最小的數（既等于1的三次方加上12的三次方，又等于9的三次方加上10的三次
方）。哈代又問，那么對于四次方來說，這個最小數是多少呢？拉曼紐揚想了想，
回答說：“這個數很大，答案是635318657。”（既等于59的四次方加上158的四
次方，又等于133的四次方加上134的四次方）
算術研究：數論的法典
1801年，年僅24歲的高斯出版了算術研究，從而開創了現代數論的新紀
元。書中出現了有關正多邊形的作圖，方便的同余記號以及優美的二次互反律的
首次證明等。這部偉大的著作曾經寄到法國科學院而被拒絕，但高斯自己把它發
表了。和高斯的前期作品一樣，它是用拉丁文寫的，這是當時科學界的世界語，
然而由于受十九世紀初國家主義的影響，高斯后來改用德文寫作。如果他和其他
研究者堅持使用拉丁文，也許今日我們就可以免除語言上的困擾了。在那個世紀
的末端，集合論的創始人康托這樣評價：
算術研究是數論的憲章。高斯總是遲遲不肯發表他的著作，這給科學帶
來的好處是，他付印的著作在今天仍然像第一次出版時一樣正確和重要，他的出
版物就是法典。比人類其它法典更高明，因為不論何時何地從未發覺出其中有任
何一處毛病，這就可以理解高斯暮年談到他青年時代第一部巨著時說的話：
“算術研究是歷史的財富。”他當時的得意心情是頗有道理的。
關于算術研究，還流傳著這樣一個故事，1849年7月16日，哥廷根大學
為高斯獲得博士學位五十周年舉行慶祝會。當進行到某一程序時，高斯準備用
算術研究的一張原稿點煙，當時在場的數學家狄里克雷（后來繼承了高斯的
職位），像見到瀆圣行為一樣吃了一驚，他立刻冒失地從高斯手中搶下這一頁紙，
并一生珍藏它；他的編輯者在他死后從他的論文中間找到了這張原稿。
和藝術家一樣，高斯希望他留下的都是十全十美的藝術珍品，任何絲毫的改
變都將破壞其內部的均衡。他常說：“當一幢建筑物完成時，應該把腳手架拆除
干凈。”高斯對于嚴密性的要求也非常苛刻，使得一個定理從直覺的形式到完整
的數學證明，中間有一段很長的過程。此外，高斯十分講究組織結構，他希望在
每一個領域中，都能樹立起一致而普遍的理論，從而將不同的定理聯系起來。鑒
于上述原因，高斯很不樂意公開發表他的東西。他的著名的警句是：寧肯少些，
但要成熟。為此，高斯付出了高昂的代價，包括把非歐幾何學和最小二乘法的發
明權讓給了羅巴切夫斯基、鮑耶和勒讓德，就如同費爾馬把解析幾何和微積分的
發明權讓給了笛卡爾和牛頓、萊布尼茲。
從做出有關正多邊形發現的那天起，高斯開始了著名的數學日記，他以密碼
式的文字記載下許多偉大的數學發現。高斯的這本日記直到1898年才被找到，它
包括146條很短的注記，其中有數值計算結果，也有簡單的數學定理。例如，關
于正多邊形作圖問題，高斯在日記中寫到：
圓的分割定律，如何以幾何方法將圓十七等分。
又如1796年7月10日的記載，
num＝△＋△＋△
意指“每個自然數都是三個三角形數之和”。就像莫扎特一樣，高斯年輕時
候風起云涌的奇思妙想使他來不及做完一件事，另一件又出現了。
多才多藝
高斯不僅是數學家，還是那個時代最偉大的物理學家和天文學家之一。在
算術研究問世的同一年，即1801年的元旦，一位意大利天文學家在西西里島
觀察到在白羊座（Aries）附近有光度八等的星移動，這顆現在被稱作谷神星
（Ceres）的小行星在天空出現了41天，掃過八度角之后，就在太陽的光芒下
沒了蹤影。當時天文學家無法確定這顆新星是彗星還是行星，這個問題很快成了
學術界關注的焦點，甚至成了哲學問題。黑格爾就曾寫文章嘲諷天文學家說，不
必那么熱衷去找尋第八顆行星，他認為用他的邏輯方法可以證明太陽系的行星，
不多不少正好是七顆。高斯也對這顆星著了迷，他利用天文學家提供的觀測資料，
不慌不忙地算出了它的軌跡。不管黑格爾有多么不高興，幾個月以后，這顆最早
發現迄今仍是最大的小行星準時出現在高斯指定的位置上。自那以后，小行星、
大行星（海王星和冥王星）接二連三地被發現了。
在物理學方面高斯最引人注目的成就是在1833年和物理學家韋伯發明了有線
電報，這使高斯的聲望超出了學術圈而進入公眾社會。除此以外，高斯在力學、
測地學、水工學、電動學、磁學和光學等方面均有杰出的貢獻。即使是數學方面，
我們談到的也只是他年輕時候在數論領域里所做的一小部分工作，在他漫長的一
生中，他幾乎在數學的每個領域都有開創性的工作。例如，在他發表了曲面論
上的一般研究之后大約一個世紀，愛因斯坦評論說：“高斯對于近代物理學的
發展，尤其是對于相對論的數學基礎所作的貢獻（指曲面論），其重要性是超越
一切，無與倫比的。”
高處不勝寒
在高斯的時代，幾乎找不到什么人能夠分享他的想法或向他提供新的觀念。
每當他發現新的理論時，他沒有人可以討論。這種孤獨的感覺，經年累月積存下
來，就造成他高高在上、冷若冰霜的心境了。這種智慧上的孤獨，在歷史上只有
很少幾個偉人感受過。高斯從不參加公開爭論，他對辯論一向深惡痛絕，他認為
那很容易演變成愚蠢的喊叫，這或許是他從小對粗暴專制的父親一種心理上的反
抗。高斯成名后很少離開過哥廷根，他曾多次拒絕柏林、圣彼德堡等地科學院的
邀請。高斯甚至厭惡教學，也不熱衷于培養和發現年輕人，自然就談不上創立什
么學派，這主要是由于高斯天賦之優異，因而心靈上離群索居。可這不等于說高
斯沒有出類拔萃的學生，黎曼、狄里克雷都堪稱偉大的數學家，戴特金和艾森斯
坦也對數學作出了杰出貢獻。但是由于高斯的登峰造極，在這幾個人中，也只有
黎曼（在狄里克雷死后繼承了高斯的職位）被認為和高斯比較親近。
和高斯同時代的偉大數學家雅可比和阿貝爾都抱怨高斯漠視了他們的成就。
雅可比是個很有思想的人，他有一句流傳至今的名言：“科學的唯一目的是為人
類的精神增光”。他是高斯的同胞，又是狄里克雷的丈人，但他一直沒能和高斯
攀上親密的友情。在1849年哥廷根那次慶祝會上，從柏林趕來的雅可比坐在高斯
身旁的榮譽席上，當他想找話題談數學時，高斯不予理睬，這可能是時機不對，
當時高斯幾杯甜酒下肚，有點不能自制；但即使換個場合，結果恐怕也是一樣。
在給他兄弟論及該宴會的一封信中，雅克比寫到，“你要知道，在這二十年里，
他（高斯）從未提及我和狄里克雷……”
阿貝爾的命運很慘，他與后來的同胞易卜生、格里格和蒙克一樣，是在自己
領域里唯一取得世界性成就的挪威人。他是一個偉大的天才，卻過著貧窮的生活，
毫無同時代人的了解。阿貝爾20歲時，解決了數學史上的一個大問題，即證明了
用根式解一般五次方程的不可能性，他將短短六頁“不可解”的證明寄給歐洲一
些著名的數學家，高斯自然也收到了一份。阿貝爾在引言中滿懷信心，以為數學
家們會親切地接受這篇論文。不久，鄉村牧師的兒子阿貝爾開始了他一生唯一的
一次遠足，當時他想以這篇文章作敲門磚。阿貝爾此行最大的愿望就是拜訪高斯，
但高斯高不可攀，只是將論文瞄了幾行，便把它丟在一旁，仍然專心于自己的研
究工作。阿貝爾只得在從巴黎去往柏林的旅途中，以漸增的痛苦繞過哥廷根。
高斯雖然孤傲，但令人驚奇的是，他春風得意地度過了中產階級的一生，而
沒有遭受到冷酷現實的打擊；這種打擊常無情地加諸于每個脫離現實環境生活的
人。或許高斯講求實效和追求完美的性格，有助于讓他抓住生活中的簡單現實。
高斯22歲獲博士學位，25歲當選圣彼德堡科學院外籍院士，30歲任哥廷根大學數
學教授兼天文臺臺長。雖說高斯不喜歡浮華榮耀，但在他成名后的五十年間，這
些東西就像雨點似的落在他身上，幾乎整個歐洲都卷入了這場授獎的風潮，他一
生共獲得75種形形色色的榮譽，包括1818年英王喬治三世賜封的“參議員”，
1845年又被賜封為“首席參議員”。高斯的兩次婚姻也都非常幸福，第一個妻子
死于難產后，不到十個月，高斯又娶了第二個妻子。心理學和生理學上有一個常
見的現象，婚姻生活過得幸福的人，常在喪偶之后很快再婚，一生赤貧的音樂家
約翰·塞巴斯蒂安·巴赫也是這樣。
一個偉大的文化結晶
高斯始終沒有忘記不倫瑞克公爵的恩情，他一直對他的贊助人在1806年慘死
在拿破侖手下這件事耿耿于懷，因而拒不接受法國大革命的信條和由此引發的民
主思潮的影響，他的學生都稱他為保守派。從這點來看，高斯可以說是貴族專制
社會體系中最后一個——也是最偉大的一個——文化結晶。高斯很喜歡文學，他
把歌德的作品遍覽無遺，卻不怎么推崇。由于與生俱來的語言特長，使高斯閱讀
外文得心應手。他精通英語、法語、俄語、丹麥語，對意大利語、西班牙語和瑞
典語也略知一二，他的私人日記是用拉丁文寫的。高斯50歲時，又開始學習俄語，
部分原因是為了閱讀年輕的詩人普希金的原作。不過，高斯的語言天賦在數學家
中并不算最突出的，使愛爾蘭人在數學領域享有盛譽的神童哈密爾頓，他在13歲
的時候就能夠流利地講13種外語。高斯愛看蒙田、盧梭等人的作品，卻不怎么喜
歡莎士比亞的悲劇，但他選擇了李爾王中的兩行詩作為自己的座右銘，
大自然啊，我的女神，
我愿為你獻身，終身不渝。
高斯最欽佩的英語作家是司各特，幾乎閱讀了他所有的作品。有一次，高斯
在司各特爵士有關自然景觀的描述中找到了一個錯誤（滿月是從西北方向升起來
的），因而狂喜不已。他不僅在自己那本書上把它糾正過來，還跑到哥廷根書店
把其它未售出的書都改了。
和所有偉大的數學家一樣，抽象符號對高斯來說并非虛幻而不真實的。有一
次他談到：“靈魂的滿足是一種更高的境界，物質的滿足是多余的。至于我把數
學應用到幾塊泥巴組成的星球，或應用到純粹數學的問題上，這一點并不重要。
但后者常常帶給我更大的滿足。”高斯的身體一直不錯，在他晚年受到病魔襲擊
之前，他一直沒有在宗教或精神上花時間。心臟病不斷摧毀他的意志，1848年，
高斯寫信給他最親密的朋友說：“我經歷的生活，雖然像一條彩帶飛舞過整個世
界，但也有其痛苦的一面。這種感受到了年邁的時候更是不能自持，我樂于承認，
如果換一個人來過我的生活的話，也許會快樂得多。另一方面，這更使我體會到
生命的空虛，每一個接近生命盡頭的人，都一定會有這種感覺……”他又說：
“有些問題，如果能解答的話，我認為比解答數學問題更有超然的價值，比如有
關人類和神的關系，我們的歸宿，我們的將來等等。這些問題的解答，遠超出我
們能力之所及，也非科學的范圍內能夠做到。”1855年2月23日清晨，高斯在睡
夢中平靜地與世長辭，享年77歲。他曾經要求在他的墓碑上刻一個正十七邊形，
但事與愿違，在不倫瑞克的高斯紀念塔上所刻的是一顆有十七個角的星，因為雕
刻工認為正十七邊形刻出來后幾乎和圓一模一樣。
高斯曾被形容為：“能從九霄云外的高度按照某種觀點掌握星空和深奧數學
的天才。”他將自己的數種天賦——有創造力的直覺，卓越的計算能力，嚴密的
邏輯推理，十全十美的實驗——和諧地組合在一起，這種能力的組合使得高斯出
類拔萃，在人類歷史上找不到幾個對手。習慣上只有阿基米德和牛頓與他相提并
論，他們都非常多才多藝。以理論家來說，愛因斯坦也屬同一水準，但他有所限
制，因為他不是實驗家。
2001年7月24日中華讀書報
